Найдите интеграл 4e^{2x} - sin 2x по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим интеграл по линейности. Интегрирование распределяется по сумме и разности, а константы выносятся за знак интеграла:

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=4\int e^{2x}\,dx-\int\sin 2x\,dx$

   Каждое слагаемое теперь — стандартный вид с линейной функцией $2x$ под знаком экспоненты или синуса.

2. 2

   Вспомним обратное правило цепочки для линейного внутреннего выражения. Производная $e^{2x}$ даёт дополнительный множитель $2$, поэтому при интегрировании на него нужно разделить:

   $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad \int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

   Именно это деление часто забывают, и оно меняет ответ вдвое в данном случае.

3. 3

   Интегрируем экспоненциальное слагаемое.

   $4\int e^{2x}dx=4\cdot\frac12 e^{2x}=2e^{2x}$

4. 4

   Интегрируем слагаемое с синусом, учитывая два минуса. Один минус даёт формула, второй — исходное выражение:

   $-\int\sin 2x\,dx=-\left(-\frac12\cos 2x\right)=+\frac12\cos 2x$

   В результате получаем $+\tfrac12\cos 2x$, а не $-\tfrac12\cos 2x$.

5. 5

   Объединяем и добавляем постоянную интегрирования.

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=2e^{2x}+\frac12\cos 2x+C$

6. 6

   Проверим, продифференцировав ответ. $\frac{d}{dx}\left(2e^{2x}\right)=4e^{2x}$ и $\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\cos 2x\right)=-\sin 2x$, что полностью восстанавливает подынтегральное выражение. Численно при $x=0.6$ производная ответа $12.34843$, подынтегральное выражение также $12.34843$ ✓.