Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси y области, ограниченной кривыми y = x² и x = y², методом дисков и колец.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки пересечения. Подставив $x=y^2$ в $y=x^2$, получаем $y=y^{4}$, откуда $y(y^{3}-1)=0$ и $y=0$ или $y=1$. Кривые пересекаются в точках $(0,0)$ и $(1,1)$, поэтому область лежит внутри единичного квадрата.

2. 2

   Интегрируем по y, потому что осью вращения служит ось y. Кольца, перпендикулярные оси $y$, горизонтальны, поэтому обе границы нужно выразить как $x$ через $y$:

   $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x=\sqrt{y}\ \ (\text{правая, внешняя граница}),\qquad x=y^{2}\ \ (\text{левая, внутренняя граница})$

   При $0<y<1$ верно $\sqrt y>y^{2}$ (например, при $y=\tfrac14$: $0.5>0.0625$), что и подтверждает, какая из границ внешняя.

3. 3

   Составляем интеграл методом колец. Радиус кольца — это расстояние по горизонтали от оси $y$:

   $V=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\sqrt y\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy=\pi\int_{0}^{1}\left(y-y^{4}\right)dy$

4. 4

   Вычисляем.

   $V=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac12-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{3}{10}$

   $\boxed{V=\dfrac{3\pi}{10}\approx 0.942}$

5. 5

   Перепроверяем методом цилиндрических слоёв. Слои вокруг оси $y$ интегрируются по $x$: радиус равен $x$, а высота — $\sqrt x-x^{2}$:

   $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx=2\pi\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}-x^{3}\right)dx=2\pi\left(\frac25-\frac14\right)=2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{3\pi}{10}$

   Два независимых метода дали одно и то же — это самая надёжная проверка и пределов интегрирования, и выбора внешнего и внутреннего радиусов.