Найти экспоненциальные решения дифференциального уравнения с запаздыванием f'(x) = f(x-1).

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим особенность данного уравнения. Производная в точке $x$ зависит от значения функции на единицу раньше, то есть это дифференциальное уравнение с запаздыванием, а не обычное. Экспоненциальная подстановка всё ещё применима, но характеристическое уравнение не будет алгебраическим.

2. 2

   Подставим $f(x)=e^{rx}$. Тогда $f'(x)=re^{rx}$, а запаздывающий аргумент даёт постоянный множитель:

   $f(x-1)=e^{r(x-1)}=e^{-r}e^{rx}$

3. 3

   Сократим $e^{rx}$ и получим характеристическое уравнение.

   $re^{rx}=e^{-r}e^{rx}\quad\Longrightarrow\quad r=e^{-r}\quad\Longrightarrow\quad re^{r}=1$

4. 4

   Решим $re^r=1$ через функцию Ламберта W. По определению $W$ обращает отображение $w\mapsto we^{w}$, поэтому

   $r=W(1)\approx 0.5671432904$

   Это и есть омега-константа. Элементарного выражения нет — это типично для уравнений с запаздыванием.

5. 5

   Запишем решения и отметим наличие бесконечно многих ветвей. Реальное экспоненциальное решение имеет вид

   $f(x)=Ce^{W(1)x}\approx Ce^{0.567143x}$

   Поскольку у $re^r=1$ бесконечно много комплексных корней $r_k=W_k(1)$, общее решение — суперпозиция $f(x)=\sum_k C_ke^{W_k(1)x}$, где комплексно-сопряжённые пары объединяются для вещественности.

6. 6

   Проверим значение константы численно. При $r=0.5671432904$: $re^{r}=0.5671432904\times 1.763222834=1.000000000$ $\checkmark$, и эквивалентно $e^{-r}=0.567143=r$ $\checkmark$. Подставляя обратно, $f'(x)=rCe^{rx}$ и $f(x-1)=Ce^{rx}e^{-r}=rCe^{rx}$, что совпадает.