Найти и упростить производную: g(x) = e^x · ln(x² + 1) / (√(sin x) + 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разбирается структура выражения. Дана дробь, в числителе которой произведение, а в знаменателе — функция, требующая применения производной сложной функции. Для удобства обозначим части:

   $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\qquad u(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad v(x)=\sqrt{\sin x}+2$

   Внешнее правило — это правило производной частного:

   $g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^{2}}$

2. 2

   Находим производную числителя по правилу произведения и с использованием производной сложной функции. Известно, что $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$, а $\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ (по правилу цепочки для $\ln$ от $x^{2}+1$):

   $u'(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)+e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)$

   Сразу выносится $e^{x}$ за скобки — это упростит дальнейшие преобразования.

3. 3

   Вычисляется производная знаменателя. Представим $\sqrt{\sin x}$ как $\left(\sin x\right)^{1/2}$ и применим правило цепочки; производная от константы $2$ равна нулю:

   $v'(x)=\frac{1}{2}\left(\sin x\right)^{-1/2}\cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

4. 4

   Подставляются найденные производные в формулу производной частного. Получаем:

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

5. 5

   Упрощается выражение, вынося общий множитель $e^{x}$. В числителе оба слагаемых содержат $e^{x}$, поэтому его можно вынести за скобки:

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left[\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\right]}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

   Дальнейшее сокращение невозможно, так как логарифм и корень не имеют общих множителей.

6. 6

   Указывается область определения и проводится численная проверка. Формула определена только при $\sin x>0$ — строго больше нуля, а не неотрицательно, поскольку $\sqrt{\sin x}$ находится в знаменателе после дифференцирования. Значит, $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$. Проверка по центральной разности для $g$ с $h=10^{-6}$ при $x=0.5,1,2,2.9$ даёт $0.5943697$, $1.5124325$, $6.3252411$ и $27.3951392$ — совпадает с аналитическим ответом до семи знаков.