Вычислите тройной интеграл от x по телу, заданному условиями 0 ≤ z ≤ 3 и x² + y² ≤ z.

Step-by-step solution

1. 1

   Описываем тело. Неравенство $x^2 + y^2 \le z$ означает, что точка лежит внутри параболоида $z = x^2 + y^2$, раскрывающегося вверх из начала координат. Срезав его плоскостью $z = 3$, получаем тело в форме чаши, сечение которого на высоте $z$ — круг $x^2 + y^2 \le z$ радиуса $\sqrt{z}$.

2. 2

   Проверяем область на симметрию по x. Замена $x$ на $-x$ не меняет ни одного из задающих условий, поскольку входит только $x^2$:

   $(-x)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \le z$

   Значит, $(x, y, z) \in E \iff (-x, y, z) \in E$: тело симметрично относительно плоскости $x = 0$. Эта проверка обязательна — на несимметричной области приём не работает.

3. 3

   Проверяем чётность подынтегральной функции по x. Подынтегральная функция $f(x,y,z) = x$, и

   $f(-x, y, z) = -x = -f(x,y,z)$

   то есть она нечётна по $x$. Интеграл от нечётной функции по симметричной относительно этой переменной области равен нулю: каждой точке отвечает зеркальная с противоположным значением.

4. 4

   Делаем вывод без вычислений.

   $\iiint_E x\,dV = 0$

   Положительный вклад полупространства $x > 0$ в точности гасится отрицательным вкладом при $x < 0$.

5. 5

   Подтверждаем, всё же выписав интеграл в цилиндрических координатах. При $x = r\cos\theta$ и $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$:

   $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{3}}\!\!\int_{r^2}^{3} r^2\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta$

   Интеграл по $\theta$ выносится множителем и равен $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$, поэтому всё произведение равно нулю независимо от радиальной и вертикальной частей. Тот же ответ, теперь подтверждённый выкладкой. (По тем же соображениям $\iiint_E y\,dV = 0$ и $\iiint_E xyz\,dV = 0$, тогда как $\iiint_E z\,dV$ действительно отличен от нуля.)