Популяция кроликов в заповеднике начинается с 800 и растёт пропорционально своей численности, коэффициент роста 0,12 в год. Решить уравнение, найти численность через 5 лет и время удвоения.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим переменные. Уравнение $\dfrac{dP}{dt}=0.12P$ является разделяющимся — перенесём $P$ в одну часть, $t$ — в другую:

   $\frac{dP}{P}=0.12\,dt$

2. 2

   Проинтегрируем обе части и выразим $P$.

   $\ln|P|=0.12t+C\quad\Longrightarrow\quad P(t)=Ae^{0.12t}$

   Подставляя $P(0)=800$, получаем $A=800$, значит

   $P(t)=800e^{0.12t}$

3. 3

   Подставим $t = 5$.

   $P(5)=800e^{0.12(5)}=800e^{0.6}=800(1.82212)=1457.7$

   Округляя до целых кроликов,

   $P(5)\approx 1458\ \text{кроликов}$

4. 4

   Запишем условие удвоения. Удвоение означает $P(t)=2P(0)$, то есть

   $800e^{0.12t}=1600\quad\Longrightarrow\quad e^{0.12t}=2$

5. 5

   Найдём время удвоения.

   $0.12t=\ln 2\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0.12}=\frac{0.69315}{0.12}=5.776\ \text{лет}$

   $\boxed{P(5)\approx 1458\ \text{кроликов};\qquad t_{\text{double}}\approx 5.78\ \text{лет}}$

6. 6

   Заметим, что время удвоения не зависит от начальной численности. Число $800$ сокращается в $\tfrac{P(t)}{P(0)}=e^{kt}$, поэтому любая экспоненциально растущая популяция с $k=0.12$ удваивается каждые $5{,}78$ лет. Проверим: через $5.776$ лет по формуле $800e^{0.12(5.776)}=800e^{0.6931}=1600$ ✓, а через $5$ лет отношение $\tfrac{1458}{800}=1.822$ чуть меньше $2$, что согласуется с удвоением чуть более чем за $5$ лет.