Вычислить неопределённый интеграл sin^{2n}(x) для натурального n. Записать рекуррентную формулу, явный вид и случаи n = 1, 2, 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему используется рекуррентная формула, а не подстановка. Для нечётной степени синуса удобно вынести один множитель и сделать замену $u=\cos x$. Для чётной степени $2n$ этот приём не работает, так как не остаётся одинарного синуса. Поэтому стандартно применяется интегрирование по частям — оно понижает степень на $2$ и приводит к рекурсии.

2. 2

   Запишем рекуррентную формулу. Представим $\sin^{m}x=\sin^{m-1}x\cdot\sin x$ и проинтегрируем по частям. Получается классический результат:

   $\int\sin^{m}x\,dx=-\frac{\sin^{m-1}x\cos x}{m}+\frac{m-1}{m}\int\sin^{m-2}x\,dx.$

   При $m=2n$ и $I_{n}=\int\sin^{2n}x\,dx$ имеем:

   $I_{n}=-\frac{\sin^{2n-1}x\,\cos x}{2n}+\frac{2n-1}{2n}\,I_{n-1},\qquad I_{0}=\int 1\,dx=x.$

   Каждое применение понижает степень на $2$, и после $n$ шагов получаем $I_{0}=x$ — поэтому в ответе при чётной степени всегда присутствует слагаемое $x$.

3. 3

   Получим явную формулу через понижение степени. Раскроем $\sin^{2n}x$ в сумму косинусов кратных углов:

   $\sin^{2n}x=\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}+\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\cos\bigl(2(n-k)x\bigr),$

   каждый член которой интегрируется напрямую. Постоянный член $\binom{2n}{n}/2^{2n}$ — это среднее значение $\sin^{2n}$ по периоду, и именно он даёт слагаемое $x$.

4. 4

   Интегрируем по слагаемым. Используя $\int\cos(\lambda x)\,dx=\frac{\sin(\lambda x)}{\lambda}$ при $\lambda=2(n-k)$:

   $\int\sin^{2n}x\,dx=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\,x+\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}\binom{2n}{k}\frac{\sin\bigl(2(n-k)x\bigr)}{n-k}+C.$

   Дополнительный множитель $\tfrac12$ из $\tfrac{1}{2(n-k)}$ превращает $2^{2n-1}$ в $2^{2n}$ в знаменателе.

5. 5

   Рассмотрим первые три случая. Подставляя $n=1,2,3$ в любую из формул, получаем:

   $\int\sin^{2}x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C,$

   $\int\sin^{4}x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C,$

   $\int\sin^{6}x\,dx=\frac{5x}{16}-\frac{15\sin 2x}{64}+\frac{3\sin 4x}{64}-\frac{\sin 6x}{192}+C.$

   Ведущие коэффициенты $\tfrac12,\tfrac38,\tfrac{5}{16}$ — это $\binom{2n}{n}/2^{2n}$, что соответствует формуле Уоллиса.

6. 6

   Проверим численно. Подставляя явную формулу на $[0,1.3]$ и сравнивая с квадратурой Симпсона: при $n=1$ получаем $0.5211246570$ обоими способами, при $n=2$ — $0.3310166991$, при $n=3$ — $0.2388166824$. Все три результата совпадают до 10 знаков ✓.