Докажите, что бесконечное произведение (1 + x/n²) при n от 1 до бесконечности сходится при любом x > 0, и найдите предел ln этого произведения, делённого на корень из x, при x стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Переход от произведения к ряду. Все множители больше $1$, поэтому сходимость произведения эквивалентна сходимости суммы $\ln P(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right).$ Произведения оценивать сложно, а логарифм позволяет применить признак сравнения.

2. 2

   Сравнение с $p$-рядом. Для $u\ge 0$ элементарная оценка $\ln(1+u)\le u$ даёт $0\le\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\le\frac{x}{n^2}.$ Так как $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ сходится, по признаку сравнения $\ln P(x)$ сходится при любом фиксированном $x>0$, значит, и произведение сходится.

3. 3

   Распознаём явную формулу. Формула Эйлера для гиперболического синуса $\frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right)$ применима при $z=\sqrt{x}$, значит, $P(x)=\frac{\sinh(\pi\sqrt{x})}{\pi\sqrt{x}}.$ При $x=2$ обе части равны $9.56675$, при $x=9$ — $657.397$.

4. 4

   Берём логарифм и выделяем главный член. Используя $\sinh w=\tfrac12(e^{w}-e^{-w})$, получаем $\ln P(x)=\pi\sqrt{x}-\ln 2-\ln\!\left(\pi\sqrt{x}\right)+\ln\!\left(1-e^{-2\pi\sqrt{x}}\right).$ Главный член — $\pi\sqrt{x}$, остальные слагаемые порядка $O(\ln x)$.

5. 5

   Делим на $\sqrt{x}$ и переходим к пределу. $\frac{\ln P(x)}{\sqrt{x}}=\pi-\frac{\ln 2+\ln(\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+o(1)\longrightarrow\pi.$ Эквивалентно, сумма — это интегральная сумма с шагом $1/\sqrt{x}$ для $\int_0^{\infty}\ln(1+t^{-2})\,dt=\pi$. Прямое суммирование при $x=10^{6}$ даёт $3.13285$, медленно стремясь к $\pi$, как и предсказывает поправка $\ln x/\sqrt{x}$.