Найти предел (sin 3x − 3 sin x)/x³ при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Убеждаемся в неопределённости и решаем, до какого порядка раскладывать. При $x=0$ числитель равен $\sin 0-3\sin 0=0$, знаменатель тоже равен $0$, то есть перед нами $0/0$. Знаменатель равен $x^{3}$, поэтому числитель нужно разложить до порядка $x^{3}$: остановившись на первом порядке, мы увидели бы лишь сокращение старших слагаемых, но не сам предел.

2. 2

   Раскладываем $\sin 3x$ до третьего порядка. Из $\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{6}+O(u^{5})$ при $u=3x$ получаем

   $\sin 3x=3x-\frac{27x^{3}}{6}+O(x^{5})=3x-\frac{9}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

   Именно куб тройки делает это слагаемое в девять раз больше соответствующего слагаемого в $\sin x$ — вся асимметрия, из которой и рождается ответ.

3. 3

   Раскладываем $3\sin x$ до того же порядка.

   $3\sin x=3\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)+O(x^{5})=3x-\frac{1}{2}x^{3}+O(x^{5}).$

4. 4

   Вычитаем. Слагаемые $3x$ сокращаются точно, как и обещала форма $0/0$:

   $\sin 3x-3\sin x=\left(-\frac92+\frac12\right)x^{3}+O(x^{5})=-4x^{3}+O(x^{5}).$

5. 5

   Делим и переходим к пределу.

   $\frac{\sin 3x-3\sin x}{x^{3}}=-4+O(x^{2})\;\xrightarrow[x\to 0]{}\;-4.$

   Прямое вычисление частного при $x=10^{-3}$ даёт $-3.999998$, а при $x=10^{-4}$ — уже $-3.99999998$: значения приближаются к $-4$ сверху с предсказанной скоростью $O(x^{2})$.