Вычислите предел 3 при x, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим функцию. В выражении под знаком предела отсутствует $x$, то есть рассматривается постоянная функция $f(x)=3$. График этой функции — горизонтальная прямая на уровне $3$.

2. 2

   Применим правило предела константы. Для любой константы $c$ и любого способа стремления (к конечной точке или к бесконечности)

   $\lim_{x\to a}c=c$

   — так как значение функции не меняется при изменении аргумента.

3. 3

   Делаем вывод.

   $\lim_{x\to\infty}3=3$

4. 4

   Проверим по определению предела. Предел $L$ на бесконечности означает, что для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое $M$, что $|f(x)-L|<\varepsilon$ при $x>M$. В данном случае $|3-3|=0<\varepsilon$ при любом $x$, то есть условие выполняется при любом $M$ — требование выполняется автоматически.

5. 5

   Обратим внимание на типичную ошибку. Ответ — не $\infty$: к бесконечности стремится именно аргумент, а не значение функции. Также предел не является неопределённым — константы относятся к самым простым функциям. Для сравнения: $\lim_{x\to\infty}\tfrac{3x+1}{x}=3$, но там функция именно стремится к $3$, а здесь она всегда равна $3$.