Вычислить интеграл от x + 3 по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим интеграл по правилу суммы. Интегрирование линейно, поэтому сумму можно рассматривать по отдельности для каждого слагаемого:

   $\int(x+3)\,dx=\int x\,dx+\int 3\,dx$

2. 2

   Проинтегрируем линейный член по правилу степени. Здесь $n=1$, значит, $n+1=2$:

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}$

3. 3

   Проинтегрируем константу. Константа $k$ записывается как $kx^0$, и по правилу степени переходит в $kx$:

   $\int 3\,dx=3x$

   Интуитивно: функция, производная которой постоянно равна $3$, — это прямая с угловым коэффициентом $3$.

4. 4

   Объединим результаты, добавив одну константу интегрирования. Даже если бы появились две разные константы, их сумма — это всё равно одна новая константа:

   $\int(x+3)\,dx=\frac{x^2}{2}+3x+C$

5. 5

   Проверим результат дифференцированием. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^2}{2}+3x+C\right)=x+3$ $\checkmark$. Числовая проверка при $x=1{,}3$: разностное отношение для $\tfrac{x^2}{2}+3x$ даёт $4{,}300$, а подынтегральная функция $1{,}3+3=4{,}3$ $\checkmark$.