Вычислить двойной интеграл от |xy − 1/4| по единичному квадрату 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим кривую, на которой подынтегральное выражение меняет знак. Это происходит на $xy=\tfrac14$, то есть $y=\dfrac{1}{4x}$. В пределах единичного квадрата эта ветвь существует только при $\dfrac{1}{4x}\le1$, то есть при $x\ge\tfrac14$. Для $x<\tfrac14$ весь вертикальный срез удовлетворяет $xy\le x<\tfrac14$, поэтому разбиение не требуется.

2. 2

   Рассмотрим простую полосу $0\le x\le\tfrac14$. Здесь $\left|xy-\tfrac14\right|=\tfrac14-xy$, поэтому

   $\int_0^1\left(\frac14-xy\right)dy=\frac14-\frac{x}{2}$

   Получаем

   $I_1=\int_0^{1/4}\left(\frac14-\frac{x}{2}\right)dx=\frac{1}{16}-\frac{1}{64}=\frac{3}{64}$

3. 3

   Для $\tfrac14\le x\le1$ каждый срез делится в точке $a=\dfrac{1}{4x}$. Ниже $a$ подынтегральное выражение равно $\tfrac14-xy$, выше — $xy-\tfrac14$. Используя $\dfrac{a}{4}=\dfrac{1}{16x}$ и $\dfrac{xa^2}{2}=\dfrac{1}{32x}$, получаем два участка: $\dfrac{1}{32x}$ и $\dfrac{x}{2}-\dfrac14+\dfrac{1}{32x}$, то есть вклад среза равен

   $\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}$

4. 4

   Проинтегрируем полученное выражение по $x$:

   $I_2=\int_{1/4}^{1}\left(\frac{x}{2}-\frac14+\frac{1}{16x}\right)dx=\frac{15}{64}-\frac{3}{16}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}$

   Именно слагаемое $\dfrac{1}{16x}$ даёт логарифм — это характерно для интегрирования через гиперболическую границу.

5. 5

   Сложим полученные части и проверим численно:

   $I=\frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{\ln4}{16}=\frac{3}{32}+\frac{\ln2}{8}$

   В численном виде это $0.09375+0.0866434=0.1803933976$. При разбиении квадрата сеткой $3000\times3000$ получаем $0.1803933889$ — совпадение до седьмого знака, что ожидаемо для сеточного метода на функции с изломом ✓.