Найти первую и вторую производные функции f(x) = e^(−x²) · sin(3x).

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем правило произведения. Пусть $u = e^{-x^2}$ и $v = \sin(3x)$. Оба множителя являются сложными функциями, поэтому внутри каждой производной потребуется цепное правило:

   $u' = e^{-x^2}\cdot(-2x) = -2xe^{-x^2}, \qquad v' = 3\cos(3x)$

   Внутренние производные $-2x$ и $3$ — это те самые множители, которые чаще всего теряются при вычислениях.

2. 2

   Соберём первую производную и вынесем множитель.

   $f'(x) = -2xe^{-x^2}\sin(3x) + 3e^{-x^2}\cos(3x) = e^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right)$

   Вынесение $e^{-x^2}$ за скобки упрощает дальнейшее дифференцирование.

3. 3

   Продифференцируем скобку для второй производной. Пусть $w = 3\cos 3x - 2x\sin 3x$. Тогда

   $w' = -9\sin 3x - \left(2\sin 3x + 6x\cos 3x\right) = -11\sin 3x - 6x\cos 3x$

   Для слагаемого $-2x\sin 3x$ снова применяется правило произведения, что даёт сразу два слагаемых: $-2\sin 3x$ и $-6x\cos 3x$.

4. 4

   Ещё раз применим правило произведения.

   $f''(x) = u'w + uw' = -2xe^{-x^2}\left(3\cos 3x - 2x\sin 3x\right) + e^{-x^2}\left(-11\sin 3x - 6x\cos 3x\right)$

5. 5

   Соберём слагаемые с синусом и косинусом. Слагаемые с косинусом дают $-6x - 6x = -12x$, а с синусом — $4x^2 - 11$:

   $f''(x) = e^{-x^2}\left(\left(4x^2 - 11\right)\sin 3x - 12x\cos 3x\right)$

6. 6

   Проверим при x = 0. По формулам: $f'(0) = 1\cdot(3 - 0) = 3$, $f''(0) = 1\cdot(-11\cdot 0 - 0) = 0$. При непосредственной подстановке, в окрестности $0$ имеем $f(x) \approx (1-x^2)(3x - \tfrac{9x^3}{2}) = 3x + O(x^3)$, то есть угловой коэффициент в начале координат равен $3$, а вторая производная обращается в ноль — оба результата подтверждаются.