Найдите dy/dx с помощью неявного дифференцирования для x³ + x²y + y³ = 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему требуется неявное дифференцирование. Уравнение не удаётся явно выразить через $y$, поэтому обе части дифференцируются по $x$, считая $y$ неизвестной функцией $y(x)$. При каждом появлении $y$ по цепному правилу возникает множитель $\frac{dy}{dx}$.

2. 2

   Дифференцирование смешанного слагаемого по правилу произведения. Слагаемое $x^{2}y$ — это произведение двух функций от $x$, поэтому $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy .$ Часто ошибочно забывают слагаемое $2xy$ — это типичная ошибка в подобных задачах.

3. 3

   Дифференцирование остальных слагаемых. Для чистой степени получаем $\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$; по цепному правилу $\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$; производная константы $\frac{d}{dx}(7)=0$. Объединяя всё, получаем $3x^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0 .$

4. 4

   Собираем слагаемые с dy/dx в одну сторону. Группируя, получаем $\left(x^{2}+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2xy .$

5. 5

   Решаем и отмечаем область применимости. Делением обеих частей получаем $\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+3y^{2}} .$ Формула верна при $x^{2}+3y^{2}\ne 0$, то есть всюду, кроме начала координат, которое не принадлежит кривой ($0\ne 7$); значит, формула справедлива во всех точках данной кривой.