Вычислить предел (sin 3x + x)/(x + sin 5x) при x → 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид выражения. При $x=0$ числитель $\sin 3x+x$ и знаменатель $x+\sin 5x$ обращаются в ноль, то есть имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Вспомним стандартный предел. Известно, что $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ для любого постоянного $k$, поскольку $\frac{\sin kx}{x}=k\cdot\frac{\sin kx}{kx}$ и $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$.

3. 3

   Разделим числитель и знаменатель на $x$. Для $x\neq 0$ исходная дробь равна $\frac{\frac{\sin 3x}{x}+1}{1+\frac{\sin 5x}{x}}$. Деление на $x$ — стандартный приём, позволяющий свести все слагаемые к известным пределам.

4. 4

   Переходим к пределу по слагаемым. Числитель стремится к $3+1=4$, знаменатель — к $1+5=6$; оба предела существуют, предел знаменателя отличен от нуля, поэтому можно применять правило предела дроби.

5. 5

   Вычислим отношение. $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

6. 6

   Проверим численно. При $x=10^{-6}$ исходное выражение даёт $0.66666667$, что совпадает с $\frac{2}{3}$.