Поменяйте порядок интегрирования и вычислите двойной интеграл e^{y³} по x от 0 до 2 и по y от корня из 2x до 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему исходный порядок не работает. Внутренний интеграл требует вычислить $\int e^{y^3}\,dy$, а у функции $e^{y^3}$ нет первообразной в элементарных функциях. Здесь смена порядка интегрирования — не вопрос удобства, а единственный способ довести задачу до конца: при интегрировании сначала по $x$ появляется дополнительный множитель $y^2$, который как раз нужен для замены $u = y^3$.

2. 2

   Опишем область интегрирования по пределам. По условиям $0\le x\le 2$ и $\sqrt{2x}\le y\le 2$. Нижняя граница $y=\sqrt{2x}$ — это правая ветвь параболы $y^2=2x$, то есть $x=\dfrac{y^2}{2}$. При $x=2$ нижний и верхний пределы по $y$ совпадают ($y=2$), так что область на этом замыкается.

3. 3

   Перережем область горизонтально. Для фиксированного $y$ от $0$ до $2$ область идёт от левого края $x=0$ до параболы $x=\dfrac{y^2}{2}$. Получаем:

   $R=\left\{(x,y):0\le y\le 2,\ 0\le x\le \tfrac{y^2}{2}\right\},\qquad \int_0^2\!\!\int_0^{y^2/2} e^{y^3}\,dx\,dy.$

4. 4

   Выполним внутренний интеграл. $e^{y^3}$ не зависит от $x$, поэтому результат — это просто ширина среза:

   $\int_0^{y^2/2}e^{y^3}\,dx=\frac{y^2}{2}\,e^{y^3}.$

5. 5

   Сделаем замену $u=y^3$. Тогда $du=3y^2\,dy$, значит $y^2\,dy=\tfrac{du}{3}$, а пределы $y=0,2$ переходят в $u=0,8$:

   $\int_0^2\frac{y^2}{2}e^{y^3}\,dy=\frac{1}{6}\int_0^8 e^{u}\,du=\frac{1}{6}\left[e^u\right]_0^8=\frac{e^8-1}{6}.$

6. 6

   Проверим разумность ответа. $\dfrac{e^8-1}{6}\approx 496.66$, и прямое численное вычисление исходного повторного интеграла даёт $496.66$, значит, область интегрирования была сохранена корректно.