Вычислить неопределённый интеграл (1 − u²) / (a − b u²)^{3/2} по u.

Step-by-step solution

1. 1

   Построим нужную первообразную через дифференцирование подходящей функции. Вместо тригонометрической подстановки рассмотрим производную $\dfrac{u}{\sqrt{a-bu^2}}$ по правилу произведения:

   $\frac{d}{du}\left[u(a-bu^2)^{-1/2}\right]=\frac{1}{\sqrt{a-bu^2}}+\frac{bu^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   Следовательно,

   $\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}$

2. 2

   Разобьём числитель.

   $\int\frac{1-u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}\,du=\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}-\int\frac{u^2\,du}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   Первая часть уже найдена; осталось рассмотреть только слагаемое с $u^2$.

3. 3

   Выразим $u^2$ через выражение в знаменателе. Используем тождество

   $u^2=\frac{a-(a-bu^2)}{b}$

   Тогда

   $\frac{u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{b(a-bu^2)^{3/2}}-\frac{1}{b\sqrt{a-bu^2}}$

   В этом и состоит основной приём: неудобный числитель превращается в сумму двух интегралов стандартного вида, и тригонометрическая подстановка не требуется.

4. 4

   Соберём все части. Используя результат первого шага и формулу $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a-bu^2}}=\frac{1}{\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)$, получаем:

   $I=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}-\frac{u}{b\sqrt{a-bu^2}}+\frac{1}{b\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)+C$

   Объединяя первые два слагаемых по общему знаменателю $ab$, получаем коэффициент $\dfrac{b-a}{ab}$.

5. 5

   Проверим ответ дифференцированием. Подставим конкретные значения: $a=2$, $b=0.7$. Численное дифференцирование полученной формулы при $u=0.1$ даёт $0.3518635229$, а исходный подынтегральный выражение $(1-u^2)/(a-bu^2)^{3/2}$ при $u=0.1$ также равно $0.3518635229$ ✓. При $u=0.5$ обе величины дают $0.3042054288$ ✓. Значит, первообразная найдена верно.