Дана функция F(x) = ∫ dx/(2x + 1), причём F(0) = 0. Найти F((e² − 1)/2).

Step-by-step solution

1. 1

   Интегрируем с помощью замены $u=2x+1$. Под интегралом стоит величина, обратная линейной функции, поэтому линейная замена сразу всё упрощает:

   $u=2x+1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}$

   $F(x)=\int\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln|2x+1|+C$

   Множитель $\tfrac12$ компенсирует производную внутренней функции; его потеря — самая частая ошибка в интегралах такого вида.

2. 2

   Определяем константу по начальному условию. Подставим $x=0$:

   $F(0)=\frac{1}{2}\ln|1|+C=0+C$

   а условие $F(0)=0$ даёт

   $C=0\qquad\Longrightarrow\qquad F(x)=\frac{1}{2}\ln|2x+1|$

   Именно начальное условие превращает целое семейство первообразных в одну конкретную функцию.

3. 3

   Упрощаем аргумент до подстановки. При $x=\dfrac{e^2-1}{2}$

   $2x+1=2\cdot\frac{e^2-1}{2}+1=(e^2-1)+1=e^2$

   Неуклюжее на вид значение подобрано как раз для того, чтобы $2x+1$ свернулось в $e^2$, — под логарифмом всегда сначала упрощаем выражение. Заметим, что $e^2>0$, поэтому модуль ни на что не влияет.

4. 4

   Вычисляем. Используя $\ln(e^2)=2$:

   $F\!\left(\frac{e^2-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(e^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

   $\boxed{1}$

5. 5

   Перекрёстная проверка через определённый интеграл. Так как $F(0)=0$, тот же ответ даёт

   $\int_0^{(e^2-1)/2}\frac{dx}{2x+1}=\left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^{(e^2-1)/2}=\frac{1}{2}(2-0)=1$

   Численно верхний предел равен $\approx 3.1945$, и $\tfrac12\ln(2\cdot 3.1945+1)=1.0000$, что подтверждает результат.