С помощью двойного интеграла найти площадь области между y = 4x - x² и прямой y = x.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки пересечения двух графиков. Приравниваем $4x-x^{2}=x$, получаем $3x-x^{2}=0$, то есть $x(3-x)=0$. Следовательно, графики пересекаются при $x=0$ и $x=3$. Так как $y=x$ в этих точках, точки пересечения — $(0,0)$ и $(3,3)$. Эти значения будут пределами внешнего интеграла.

2. 2

   Определяем, какой график выше. Проверим точку внутри интервала: при $x=1$ парабола даёт $4(1)-1^{2}=3$, а прямая — $1$. Значит, парабола выше прямой на всём промежутке $0<x<3$, и область описывается так: $R=\left\{(x,y):0\le x\le 3,\ x\le y\le 4x-x^{2}\right\}.$

3. 3

   Записываем площадь через двойной интеграл. Площадь равна двойному интегралу от единицы по найденной области, то есть при вертикальном разрезе: $A=\iint_R 1\,dA=\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy\,dx .$

4. 4

   Выполняем внутреннее интегрирование. Интегрируя $1$ по $y$, получаем высоту полосы: $\int_{x}^{4x-x^{2}}1\,dy=(4x-x^{2})-x=3x-x^{2},$ что совпадает с разностью верхней и нижней границ, как в обычной задаче на площадь.

5. 5

   Выполняем внешнее интегрирование. $A=\int_{0}^{3}\left(3x-x^{2}\right)dx=\left[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$ Подынтегральная функция $3x-x^{2}$ неотрицательна на $[0,3]$, поэтому ответ положителен, как и должна быть площадь.