Вычислить предел (√(3 + x) − √3)/x при x стремится к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид неопределённости. При $x=0$ числитель равен $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$, а знаменатель — $0$, то есть получается $\frac{0}{0}$. Обычная подстановка не сработает.

2. 2

   Выберем рационализацию. Здесь мешает разность корней, поэтому домножим числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{3+x}+\sqrt{3}$. Это позволяет по формуле $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ убрать корни из числителя.

3. 3

   Упростим числитель. $\left(\sqrt{3+x}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=(3+x)-3=x$, поэтому выражение становится $\frac{x}{x\left(\sqrt{3+x}+\sqrt{3}\right)}$.

4. 4

   Сократим множитель $x$. При $x\neq 0$ это $\frac{1}{\sqrt{3+x}+\sqrt{3}}$, а предел рассматривает только значения в окрестности $0$, не саму точку.

5. 5

   Подставим $x=0$. Полученное выражение непрерывно при $x=0$, значит, подставляем: $\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ после рационализации знаменателя.

6. 6

   Проверим численно. Для $x=10^{-8}$ разностное отношение даёт $0.288675$, а $\frac{\sqrt{3}}{6}=0.2886751$ — совпадение до шести знаков после запятой.