Вычислите предел при x → 0⁺: (x / ((e^x − 1) cos√x)) в степени 1 / ((1 + sin(x²))^{1/x} − 1). Варианты: e^{1/2}, e^{−1/2}, e или 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид неопределённости и приведём к стандартному пределу. Основание стремится к $1$, а показатель — к бесконечности, то есть получаем неопределённость $1^{\infty}$. Обозначим $L=\lim u^{v}$ и воспользуемся формулой

   $L=\exp\left(\lim v\ln u\right)\approx\exp\left(\lim v(u-1)\right),$

   так как $\ln u\sim u-1$ при $u\to 1$. Всё теперь зависит от того, насколько быстро $u-1\to 0$ по сравнению с $v\to\infty$.

2. 2

   Разложим знаменатель показателя. Для малых $x$ имеем $\sin x^{2}=x^{2}+O(x^{6})$, значит

   $\left(1+\sin x^{2}\right)^{1/x}=\exp\left(\frac{\ln\left(1+x^{2}+\cdots\right)}{x}\right)=\exp\left(x+O(x^{3})\right)=1+x+O(x^{2}).$

   Вычитая $1$, получаем $x+O(x^2)$, значит показатель

   $v=\frac{1}{x+O(x^{2})}\sim\frac{1}{x}.$

3. 3

   Разложим основание до нужного порядка. Известно, что $e^{x}-1=x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$, а $\cos\sqrt{x}=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})$. Их произведение:

   $\left(x+\tfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})=x+O(x^{3}).$

   Два слагаемых второго порядка взаимно уничтожаются — именно в этом и состоит суть задачи.

4. 4

   Соберём основание и оценим его близость к 1.

   $u=\frac{x}{x+O(x^{3})}=1+O(x^{2}),\qquad\text{so}\qquad u-1=O(x^{2}).$

5. 5

   Объединим показатель и основание.

   $v(u-1)=\frac{1}{x}\cdot O\!\left(x^{2}\right)=O(x)\longrightarrow 0,$

   hence

   $L=e^{0}=1.$

   Had the $x^2$ terms not cancelled in step 3, $u-1$ would have been of order $x$ and the answer would have been $e^{\pm 1/2}$ — which is exactly what options (A) and (B) are baiting.

6. 6

   Проверим численно. Подставляя значения, получаем $1{,}004211$ при $x=0{,}1$, $1{,}000417$ при $x=0{,}01$, $1{,}0000417$ при $x=0{,}001$ и $1{,}0000042$ при $x=10^{-4}$ — стремление к $1$ линейно по $x$, что полностью подтверждает оценку $O(x)$. Ответ — (D).