Вычислить F — интеграл по y от –1,65 до 0 и по x от –y/1,1015 до 0 от (14,1 – 11,515y) dx dy.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что подынтегральное выражение не зависит от x. При интегрировании постоянной (по x) по отрезку результат равен произведению на ширину: $\int_{-y/1.1015}^{0}(14.1-11.515y)\,dx = (14.1-11.515y)\left(0-\left(-\frac{y}{1.1015}\right)\right) = (14.1-11.515y)\frac{y}{1.1015}.$

2. 2

   Проверяем знак этой ширины до дальнейших вычислений. При $y\in[-1.65,0]$ имеем $-\tfrac{y}{1.1015}\ge 0$, то есть нижний предел выше верхнего $0$, а ширина $\tfrac{y}{1.1015}$ — отрицательна. Так как $14.1-11.515y>0$ на всём промежутке, внутренний интеграл отрицателен, и $F$ тоже будет отрицательным — именно на этом шаге чаще всего теряется знак.

3. 3

   Переходим к одному интегралу и раскрываем скобки. $F = \frac{1}{1.1015}\int_{-1.65}^{0}\left(14.1y-11.515y^2\right)dy.$

4. 4

   Находим первообразную. $\int\left(14.1y-11.515y^2\right)dy = 7.05y^2-\frac{11.515}{3}y^3.$

5. 5

   Подставляем пределы в правильном порядке. При $y=0$ первообразная равна $0$, значит, $F=\tfrac{1}{1.1015}\left[0 - G(-1.65)\right]$, где, учитывая $(-1.65)^2 = 2.7225$ и $(-1.65)^3 = -4.492125$, $G(-1.65) = 7.05(2.7225)-\frac{11.515}{3}(-4.492125) = 19.193625+17.242273 = 36.435898.$

6. 6

   Делим и записываем ответ с учетом знака. $F = \frac{-36.435898}{1.1015} \approx -33.0784.$ Прямое численное интегрирование $(14.1-11.515y)\tfrac{y}{1.1015}$ по $[-1.65,0]$ даёт $-33.0784368$, что подтверждает и модуль, и знак. Если рассматривать область между $x=0$ и $x=-\tfrac{y}{1.1015}$ с возрастающими пределами, модуль $33.0784$ — это нужное значение.