Фигура ограничена окружностями x² + y² − 7y = 0 и x² + y² − 9y = 0 и прямыми y = x/√3 и x = 0. Записать интеграл для её площади в полярных координатах и найти площадь.

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим обе окружности в полярный вид. Подстановка $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$ превращает $x^2+y^2$ в $r^2$, поэтому $x^2+y^2-7y=0$ переходит в $r^2-7r\sin\varphi=0$, то есть $r(r-7\sin\varphi)=0$. Отбрасывая полюс $r=0$, получаем $r=7\sin\varphi$; та же выкладка для второй окружности даёт $r=9\sin\varphi$. Обе линии — окружности, проходящие через начало координат, с центрами на оси $y$, поэтому в нашей области радиус меняется от меньшей к большей:

   $7\sin\varphi \le r \le 9\sin\varphi.$

2. 2

   Переводим обе прямые в углы. Прямая, проходящая через начало координат, в полярных координатах задаётся одним лучом $\varphi=\text{const}$. Прямая $x=0$ — это ось $y$, значит $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$. Для $y=\tfrac{x}{\sqrt3}$ подставим полярные выражения: $r\sin\varphi=\tfrac{r\cos\varphi}{\sqrt3}$, откуда $\tan\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3}$ и $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$. Следовательно, угол пробегает

   $\frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.$

3. 3

   Составляем интеграл площади. Элемент площади в полярных координатах равен $dS=r\,dr\,d\varphi$ — лишний множитель $r$ есть якобиан перехода, и именно про него забывают чаще всего. С найденными пределами

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi.$

4. 4

   Берём внутренний интеграл по $r$. Подынтегральная функция равна просто $r$, поэтому внутренний интеграл сводится к разности квадратов — благодаря этому множитель $\sin^2\varphi$ аккуратно выносится:

   $\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr=\frac{(9\sin\varphi)^2-(7\sin\varphi)^2}{2}=\frac{81-49}{2}\sin^2\varphi=16\sin^2\varphi.$

5. 5

   Интегрируем по $\varphi$, понижая степень. У $\sin^2\varphi$ нет очевидной первообразной, поэтому запишем его как $\sin^2\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}$:

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}16\sin^2\varphi\,d\varphi=8\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi=8\left[\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.$

6. 6

   Подставляем пределы. При $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$: $\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\sin\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}$. При $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$: $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$. Вычитаем и умножаем на $8$:

   $S=8\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=8\cdot\frac{\pi}{3}+2\sqrt3=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3\approx 11.84.$

   Численный подсчёт того же интеграла даёт $11.8417$, так что точная формула верна.