Найдите все решения уравнения 3cos(2x) = 2ln(x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Определите область допустимых значений. Логарифм требует $x-1>0$, поэтому любое решение удовлетворяет условию

   $x>1$

   При $x\to 1^{+}$ правая часть стремится к $-\infty$, а левая остаётся в $[-3,3]$, поэтому разность $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$ вначале велика и положительна.

2. 2

   Ограничьте область поиска. Левая часть по модулю никогда не превышает $3$, значит для решения нужно $|2\ln(x-1)|\le 3$, то есть

   $\ln(x-1)\le 1.5\;\Longrightarrow\;x\le 1+e^{1.5}\approx 5.4817$

   Это превращает неограниченный поиск в конечный промежуток $(1,\,5.4817]$ — шаг, благодаря которому вопрос «найдите все решения» вообще становится решаемым.

3. 3

   Найдите перемены знака у $F(x)=3\cos 2x-2\ln(x-1)$. Просматривая промежуток, видим, что $F$ меняет знак ровно три раза:

   $F(1.2)>0>F(1.35),\qquad F(2.4)<0<F(2.6),\qquad F(3.5)>0>F(3.7)$

   Между $3.7$ и $5.48$ логарифм уже доминирует, и $F$ остаётся отрицательной, поэтому четвёртого пересечения нет.

4. 4

   Уточните каждый корень методом половинного деления. Многократное деление пополам каждого промежутка даёт

   $x_1\approx 1.283776,\qquad x_2\approx 2.490960,\qquad x_3\approx 3.584299$

5. 5

   Проверьте каждый корень подстановкой. Вычисление $F$ в этих трёх точках даёт $-7.6\times 10^{-7}$, $-2.2\times 10^{-6}$ и $+1.6\times 10^{-6}$ — ноль с точностью до округления шестизначных входных данных $\checkmark$. Для сравнения, близкие значения $1.41538$, $2.40898$ и $3.55226$ дают $F=-1.099$, $-0.370$ и $+0.170$ — совсем не ноль, поэтому решениями они не являются.