Вычислить предел при x → 0: (1 + tan 5x − cos x) / (√(1−x²) − (1+x)^{1/5})

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим неопределённость 0/0. При $x = 0$ числитель равен $1 + \tan 0 - \cos 0 = 1 + 0 - 1 = 0$, а знаменатель — $\sqrt{1} - 1 = 0$. Оба выражения обращаются в ноль, значит, нужно разложить числитель и знаменатель в ряд по $x$ и рассмотреть первые ненулевые члены.

2. 2

   Разложим числитель в ряд. Используем $\tan u = u + O(u^3)$ при $u = 5x$ и $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$:

   $1 + \tan 5x - \cos x = 1 + 5x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^3) = 5x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

   Постоянные $1$ и $-1$ взаимно уничтожаются, остаётся главный член $5x$ — порядок один.

3. 3

   Разложим знаменатель по биномиальной формуле. Для $(1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + O(u^2)$:

   $\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

   $(1 + x)^{1/5} = 1 + \frac{x}{5} + O(x^2)$

   Главное отличие: в разложении корня нет линейного члена (аргумент $-x^2$), а у пятого корня он есть.

4. 4

   Вычтем и найдём главный член знаменателя.

   $\sqrt{1 - x^2} - (1 + x)^{1/5} = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{5}\right) + O(x^2) = -\frac{x}{5} + O(x^2)$

   Значит, знаменатель тоже порядка $x$, и при малых $x > 0$ отрицателен.

5. 5

   Сократим $x$ и вычислим предел.

   $\lim_{x \to 0} \frac{x\left(5 + O(x)\right)}{x\left(-\frac{1}{5} + O(x)\right)} = \frac{5}{-\frac{1}{5}} = -25$

6. 6

   Проверим численно с обеих сторон. При $x = 10^{-5}$ частное равно $-24{,}99950$, при $x = -10^{-5}$ — $-25{,}00050$; при $x = \pm 10^{-6}$ значения уточняются до $-24{,}99995$ и $-25{,}00005$. Двусторонний предел равен $-25$.