Вычислить предел (1 - x)/(√(5 - x²) - 2) при x стремится к 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x=1$ числитель равен $0$, а знаменатель — $\sqrt{4}-2=0$, то есть получаем неопределённость $\frac{0}{0}$ и требуется преобразование.

2. 2

   Рационализируем знаменатель, а не числитель. Корень находится в знаменателе, поэтому умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5-x^2}+2$. В знаменателе получится $\left(5-x^2\right)-4=1-x^2$.

3. 3

   Перепишем всю дробь. Получаем выражение $\frac{(1-x)\left(\sqrt{5-x^2}+2\right)}{1-x^2}$.

4. 4

   Вынесем множители и сократим. Так как $1-x^2=(1-x)(1+x)$, можно сократить общий множитель $(1-x)$, остаётся $\frac{\sqrt{5-x^2}+2}{1+x}$ при $x\neq 1$.

5. 5

   Подставим $x=1$. Полученное выражение непрерывно при $x=1$: $\frac{\sqrt{4}+2}{2}=\frac{4}{2}=2$.

6. 6

   Проверим численно. Подставляя в исходное выражение $x=1+10^{-8}$, получаем $2.0000$, что полностью совпадает с алгебраическим результатом.