Вычислить тройной интеграл от x по телу, ограниченному конусом x² = y² + z² и параболоидом x = y² + z².

Step-by-step solution

1. 1

   Используем симметрию: обе поверхности зависят от $y$ и $z$ только через $y^2+z^2$. Положим

   $r^2=y^2+z^2$

   Тогда конус превращается в $x^2=r^2$, а параболоид — в $x=r^2$. Тело является поверхностью вращения вокруг оси $x$, поэтому естественны цилиндрические координаты, навёрнутые именно на эту ось, а не на привычную ось $z$.

2. 2

   Вводим повёрнутые цилиндрические координаты. Берём

   $y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,\qquad x=x$

   при $r\ge 0$ и $0\le\theta\le 2\pi$. Якобиан такой же, как обычно, поэтому

   $dV=r\,dx\,dr\,d\theta$

   Забыть про этот дополнительный множитель $r$ — классическая ошибка.

3. 3

   Находим линию пересечения поверхностей. Ограниченная область лежит в полупространстве $x\ge 0$, где конус задаётся уравнением $x=r$. Приравнивая:

   $r=r^2\qquad\Longrightarrow\qquad r(r-1)=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=0\ \text{ или }\ r=1$

   Значит, тело проецируется на круг $0\le r\le 1$ в плоскости $yz$, а кривые пересекаются в начале координат и при $x=1$.

4. 4

   Определяем, какая поверхность даёт нижнюю границу. При $0<r<1$ выполнено $r^2<r$, поэтому параболоид $x=r^2$ лежит левее конуса $x=r$. Значит, при фиксированных $(r,\theta)$ переменная $x$ меняется от $r^2$ до $r$:

   $\iiint_E x\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\!\!\int_{r^2}^{r} x\,r\,dx\,dr\,d\theta$

5. 5

   Интегрируем по $x$, затем по $r$. Внутренний интеграл равен

   $\int_{r^2}^{r}x\,r\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\right]_{r^2}^{r}=\frac{r^3-r^5}{2}$

   а затем

   $\int_0^1\frac{r^3-r^5}{2}\,dr=\frac{1}{2}\left[\frac{r^4}{4}-\frac{r^6}{6}\right]_0^1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$

6. 6

   Завершаем интегрированием по углу. Подынтегральное выражение не зависит от $\theta$, поэтому последнее интегрирование просто умножает результат на полный оборот:

   $\int_0^{2\pi}\frac{1}{24}\,d\theta=\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$

   $\boxed{\iiint_E x\,dV=\frac{\pi}{12}\approx 0.2618}$

   Численная сумма Римана по той же области даёт $0.26180$, что подтверждает результат. Так как всюду в теле $x\ge 0$, положительный ответ был ожидаем.