Вычислить интеграл sin(a · ln(x)) / x^b по x, где a и b — константы.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним замену $u=\ln x$, чтобы избавиться от логарифма под знаком синуса. Тогда $x=e^{u}$, $dx=e^{u}du$, поэтому

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\int\frac{\sin(au)}{e^{bu}}e^{u}\,du=\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du$

   Таким образом, исходный интеграл с логарифмом и степенью сводится к классическому интегралу от произведения экспоненты на синус.

2. 2

   Вспомним стандартный результат. Для констант $k$ и $a$, не равных одновременно нулю,

   $\int e^{ku}\sin(au)\,du=\frac{e^{ku}\left(k\sin(au)-a\cos(au)\right)}{k^{2}+a^{2}}+C$

   Этот результат доказывается двойным интегрированием по частям и последующим решением полученного уравнения относительно интеграла — он появляется в правой части, поэтому третий раз интегрировать не требуется.

3. 3

   Применим формулу при $k=1-b$:

   $\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du=\frac{e^{(1-b)u}\left[(1-b)\sin(au)-a\cos(au)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

4. 4

   Подставим обратно: $e^{(1-b)u}=x^{1-b}$, $u=\ln x$.

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\frac{x^{1-b}\left[(1-b)\sin\left(a\ln x\right)-a\cos\left(a\ln x\right)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

   Формула применима при $(1-b)^2+a^2\ne 0$, то есть не одновременно $a=0$ и $b=1$.

5. 5

   Проверим частный случай и убедимся численно. При $b=1$ интеграл сводится к $\int\tfrac{\sin(a\ln x)}{x}dx$, и формула даёт $\tfrac{-a\cos(a\ln x)}{a^2}=-\tfrac{\cos(a\ln x)}{a}$, что совпадает с прямым результатом при $u=\ln x$ $\checkmark$. Численно: производная общей первообразной при $a=1.7$, $b=0.4$, $x=0.7,\,1.3,\,2.5,\,4.0$ воспроизводит подынтегральную функцию с точностью до восьмого знака $\checkmark$.