Решить дифференциальное уравнение dy/dx = 3 - 4y.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим тип уравнения и найдём равновесное решение. Правая часть зависит только от $y$, значит, уравнение разделяющееся (а также линейное первого порядка). Приравнивая $3-4y=0$, получаем частное постоянное решение $y=\tfrac34$ — это уровень, при котором производная обращается в ноль. Все остальные решения будут стремиться к этому значению или удаляться от него, поэтому оно обязательно появится в общем ответе.

2. 2

   Разделим переменные. Разделим обе части на $3-4y$ (допустимо при $y\neq\tfrac34$) и умножим на $dx$:

   $\frac{dy}{3-4y}=dx$

3. 3

   Проинтегрируем обе части с заменой $u = 3 - 4y$. Тогда $du=-4\,dy$, откуда $dy=-\tfrac14\,du$:

   $\int\frac{dy}{3-4y}=-\frac14\int\frac{du}{u}=-\frac14\ln|u|+C$

   Коэффициент $-\tfrac14$ появляется по цепному правилу — это шаг, который чаще всего пропускают:

   $-\frac14\ln|3-4y|=x+C$

4. 4

   Избавимся от логарифма. Умножим обе части на $-4$ и прологарифмируем:

   $\ln|3-4y|=-4x+C_1\qquad\Longrightarrow\qquad |3-4y|=e^{C_1}e^{-4x}$

   Знак $3-4y$ можно включить в произвольную постоянную, поэтому модуль снимается: $3-4y=Ae^{-4x}$, где $A$ — любое ненулевое действительное число.

5. 5

   Выразим y и объединим константы.

   $y=\frac{3-Ae^{-4x}}{4}=\frac34-\frac{A}{4}e^{-4x}=\frac34+Ce^{-4x}$

   Переобозначение $-\tfrac{A}{4}$ через $C$ допустимо, так как $A$ была произвольной. Теперь при $C=0$ получаем равновесное решение $y=\tfrac34$, которое не учитывалось на этапе деления в шаге 2.

6. 6

   Проверим подстановкой. Дифференцируя, получаем $y'=-4Ce^{-4x}$. С другой стороны, $3-4y=3-3-4Ce^{-4x}=-4Ce^{-4x}$ — совпадает ✓. Для числовой проверки: при $C=2.3$, $x=0.1$ обе части равны $-6.16694$, а при $x=-0.4$ обе дают $-45.5679$ ✓.

7. 7

   Поясним поведение решений. Поскольку $e^{-4x}\to0$ при $x\to\infty$, каждое решение стремится к $y=\tfrac34$ независимо от начального значения: это устойчивое равновесие, что и предсказывает отрицательный коэффициент $-4$ при $y$.