Найти предел (2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) при x, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём вид неопределённости. И $2^x$, и $3^x$ стремятся к $\infty$, поэтому частное имеет вид $\tfrac{\infty-\infty}{\infty+\infty}$ — это неопределённость. Заметим, что правило Лопиталя здесь — плохой выбор: дифференцирование воспроизводит ту же самую структуру с лишними множителями $\ln 2$ и $\ln 3$ и ничего не упрощает.

2. 2

   Решаем, какая из показательных функций доминирует. При больших $x$ всё определяется сравнением оснований: так как $3>2$,

   $\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{при }x\to\infty$

   потому что основание $\tfrac23<1$. Значит, $3^x$ — доминирующее слагаемое и в числителе, и в знаменателе.

3. 3

   Делим числитель и знаменатель на доминирующее слагаемое $3^{x}$. Это ключевой алгебраический шаг — именно деление на наибольшую растущую величину снимает неопределённость:

   $\frac{2^{x}-3^{x}}{2^{x}+3^{x}}=\frac{\left(\frac23\right)^{x}-1}{\left(\frac23\right)^{x}+1}$

4. 4

   Переходим к пределу. Обозначим $t=\left(\tfrac23\right)^{x}\to 0^{+}$:

   $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-1}{t+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1$

   Итак, предел равен $-1$. По смыслу слагаемое $-3^x$ подавляет всё остальное, и отношение приближается к $\tfrac{-3^x}{3^x}=-1$.

5. 5

   Проверим приближение численно и посмотрим на противоположное направление. При $x=50$ частное равно $-0.9999999969$, а при $x=200$ оно равно $-1$ с машинной точностью $\checkmark$. Приближение идёт сверху, поскольку $\tfrac{t-1}{t+1}<0$, но возрастает к $-1$ при $t\to 0$. Для сравнения: при $x\to-\infty$ роли меняются — доминирует $2^x$ — и то же выражение стремится к $+1$.