Вычислить двойной интеграл от -2x - 2y + 2 по области 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала изобразим область интегрирования. Условия $1\le x\le 2$ и $x\le y\le 3$ задают трапециевидную полосу: вертикальный отрезок при фиксированном $x$ идёт от прямой $y=x$ до прямой $y=3$, его длина равна $3-x$ и убывает от $2$ до $1$ при изменении $x$ от $1$ до $2$. Поскольку нижний предел по $y$ зависит от $x$, сначала интегрируем по $y$, затем по $x$.

2. 2

   Выполним интегрирование по $y$ при фиксированном $x$:

   $\int_x^3\left(-2x-2y+2\right)dy=\left[-2xy-y^2+2y\right]_{y=x}^{y=3}$

   Верхний предел $y=3$ даёт $-6x-9+6=-6x-3$. Нижний предел $y=x$ даёт $-2x^2-x^2+2x=-3x^2+2x$.

3. 3

   Вычтем значения на пределах, не забывая про знак минус перед нижним пределом:

   $(-6x-3)-\left(-3x^2+2x\right)=3x^2-8x-3$

   Здесь часто ошибаются, теряя минус перед $-3x^2$, что приводит к неверному положительному ответу.

4. 4

   Интегрируем получившуюся функцию одной переменной:

   $\int_1^2\left(3x^2-8x-3\right)dx=\left[x^3-4x^2-3x\right]_1^2=(8-16-6)-(1-4-3)=-14-(-6)=-8$

5. 5

   Поясним, почему отрицательный ответ верен. Подынтегральная функция $2-2x-2y$ на всей области почти всегда отрицательна: на полосе $x\ge 1$, $y\ge 1$, значит $2-2x-2y\le 2-2-2=-2<0$. Интеграл от функции, отрицательной на всей области, тоже должен быть отрицательным. Модуль ответа реалистичен: площадь области $\int_1^2(3-x)dx=\tfrac32$, а среднее значение подынтегральной функции $-8/1.5\approx -5.3$, что попадает в её действительный диапазон от $-8$ до $-2$.