Решить дифференциальное уравнение в частных производных dC/dt = D·d²C/dx² - k·C.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим физический смысл слагаемых. $D\,C_{xx}$ — это обычная диффузия, а $-kC$ — распад первого порядка: вещество одновременно распространяется и исчезает со скоростью, пропорциональной его количеству. Оба механизма независимы, что подсказывает — решение должно раскладываться в произведение части распада и части диффузии.

2. 2

   Выполним подстановку, устраняющую распад. Пусть

   $C(x,t)=e^{-kt}u(x,t)$

   Тогда $C_{t}=e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)$ и $C_{xx}=e^{-kt}u_{xx}$, так как экспонента не зависит от $x$.

3. 3

   Подставим и сократим. Получаем уравнение

   $e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)=De^{-kt}u_{xx}-ke^{-kt}u$

   Деление на $e^{-kt}$ (оно всегда отлично от нуля) даёт $u_{t}-ku=Du_{xx}-ku$, и слагаемые $-ku$ сокращаются по обе стороны:

   $u_{t}=Du_{xx}$

   Слагаемое распада исчезло точно — не приближённо — значит, любое известное решение уравнения теплопроводности подходит.

4. 4

   Решим приведённую задачу методом разделения переменных. Представим $u=X(x)T(t)$ и поделим на $XT$:

   $\frac{T'}{T}=D\frac{X''}{X}=-\lambda$

   Отсюда $T(t)=e^{-\lambda t}$ и $X''+\dfrac{\lambda}{D}X=0$. При $\lambda>0$ получаем $X=A\cos\sqrt{\lambda/D}\,x+B\sin\sqrt{\lambda/D}\,x$; допустимые значения $\lambda$ определяются граничными условиями.

5. 5

   Запишем общее разделённое решение. Возвращаясь к исходной переменной,

   $C(x,t)=e^{-kt}\sum_{n}\left(A_{n}\cos\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x+B_{n}\sin\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x\right)e^{-\lambda_{n}t}$

   Коэффициенты $A_{n},B_{n}$ определяются начальными условиями $C(x,0)$.

6. 6

   Проверим предельные случаи. При $k=0$ подстановка становится тривиальной, и уравнение переходит в обычное уравнение теплопроводности ✓. При $D=0$ ПДУ сводится к $C_{t}=-kC$, решение которого $C=C_{0}e^{-kt}$ полностью совпадает с предсказанием подстановки при постоянном $u$ ✓. Каждая мода затухает со скоростью $k+\lambda_{n}$, то есть распад и диффузия просто складываются в показателе экспоненты.