Вычислите интеграл e^{6x} по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним, почему вообще появляется множитель. При дифференцировании $e^{6x}$ появляется производная внутренней функции:

   $\frac{d}{dx}e^{6x}=6e^{6x}$

   Значит, при интегрировании нужно компенсировать этот дополнительный множитель $6$.

2. 2

   Запишем общее правило. Для любого ненулевого постоянного $k$:

   $\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$

3. 3

   Применим правило при $k=6$.

   $\int e^{6x}\,dx=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

4. 4

   Проверим тот же результат методом подстановки. Пусть $u=6x$, тогда $du=6\,dx$, откуда $dx=\tfrac{du}{6}$:

   $\int e^{u}\frac{du}{6}=\frac{1}{6}e^{u}+C=\frac{1}{6}e^{6x}+C$

5. 5

   Проверим результат дифференцированием. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac16 e^{6x}\right)=\tfrac16\cdot 6e^{6x}=e^{6x}$ $\checkmark$. Численно при $x=0{,}3$: подынтегральная функция $e^{1.8}\approx 6.0496$, разностное отношение для $\tfrac16 e^{6x}$ даёт то же значение $\checkmark$.