Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка dy/dx + 2y = e^(−x).

Step-by-step solution

1. 1

   Убедимся, что уравнение уже приведено к стандартному линейному виду. Линейное уравнение первого порядка записывается как $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$. В данном случае $P(x)=2$, $Q(x)=e^{-x}$, коэффициент при производной равен $1$ — делить обе части на что-либо не требуется, можно сразу применять метод.

2. 2

   Построим интегрирующий множитель. Весь метод нужен для того, чтобы свести левую часть уравнения к одной производной. Интегрирующий множитель вычисляется по формуле:

   $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

   (постоянная интегрирования здесь опускается, так как любой ненулевой множитель $\mu$ подходит одинаково хорошо).

3. 3

   Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель и свернём левую часть. Умножая каждое слагаемое на $e^{2x}$, получаем:

   $e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}$

   Левая часть теперь — это производная произведения (правило произведения в обратную сторону):

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right) = e^{x}$

4. 4

   Проинтегрируем обе части один раз. Интегрирование производной слева просто убирает знак производной, а правая часть интегрируется элементарно:

   $e^{2x}y = e^{x} + C$

   Произвольная константа $C$ появляется именно здесь и только здесь — уравнение первого порядка допускает ровно одну такую константу.

5. 5

   Выразим $y$. Делим обе части на $e^{2x}$, что эквивалентно умножению на $e^{-2x}$:

   $y = e^{-2x}\left(e^{x} + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$

6. 6

   Проверим подстановкой. Подставляя $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$, получаем производную $y' = -e^{-x} - 2Ce^{-2x}$, тогда

   $y' + 2y = \left(-e^{-x} - 2Ce^{-2x}\right) + \left(2e^{-x} + 2Ce^{-2x}\right) = e^{-x}$

   Слагаемые с $C$ сокращаются при любом $C$, что подтверждает общее решение. Слагаемое $e^{-x}$ — частное решение, а $Ce^{-2x}$ — затухающая часть однородного уравнения.