Вычислите предел при n → ∞ суммы от i = 1 до n: (3 + 2i/n)² × (2/n), интерпретируя её как определённый интеграл.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним сумму с определением определённого интеграла. Сумма Римана с правыми концами для функции $f$ на $[a, b]$ записывается так:

   $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(a+i\,\Delta x)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$

   Задача — сопоставить три элемента: ширину $\Delta x$, точку выборки $a+i\,\Delta x$ и правило $f$.

2. 2

   Определим ширину разбиения и длину отрезка. Вне скобки стоит множитель $\dfrac{2}{n}$, значит

   $\Delta x=\frac{2}{n}=\frac{b-a}{n}\quad\Longrightarrow\quad b-a=2.$

3. 3

   Определим левый конец отрезка. Точка выборки — $3+\dfrac{2i}{n}=3+i\,\Delta x$. Сопоставляя с $a+i\,\Delta x$, получаем $a=3$, тогда $b=a+2=5$. (Константа без $i$ всегда даёт левый конец отрезка.)

4. 4

   Определим функцию. С точкой выборки производится возведение в квадрат, значит $f(x)=x^{2}$. Объединяя все три элемента, имеем:

   $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(3+\frac{2i}{n}\right)^{2}\frac{2}{n}=\int_{3}^{5}x^{2}\,dx.$

5. 5

   Вычислим интеграл:

   $\int_{3}^{5}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{5}=\frac{125}{3}-\frac{27}{3}=\frac{98}{3}\approx 32.667.$

   Проверка: если посчитать сумму напрямую при $n=10^{6}$, получится $32.66668$, что совпадает с $\tfrac{98}{3}$ до пяти знаков. Обратите внимание: ответ не уникален по виду — если записать тот же предел с $a=0$, $b=2$ и $f(x)=(3+x)^{2}$, получится то же число.