Решите дифференциальное уравнение dy/dx + √(1 + (dy/dx)²) = e^x.

Step-by-step solution

1. 1

   Заменяем производную одним символом. Положим $p=\dfrac{dy}{dx}$, тогда уравнение примет вид

   $p+\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}$

   Заметим, что сама $y$ нигде не встречается: уравнение определяет $p$ алгебраически при каждом $x$, и лишь после этого нужно одно интегрирование. Именно поэтому такое уравнение вообще поддаётся решению.

2. 2

   Выделяем радикал до возведения в квадрат. Если возводить в квадрат уравнение как есть, останется перекрёстное слагаемое; предварительное выделение корня этого избегает:

   $\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}-p$

   Чтобы правая часть была неотрицательной, нужно $e^{x}\ge p$ — это условие проверим в конце.

3. 3

   Возводим в квадрат и смотрим, как сокращается $p^{2}$.

   $1+p^{2}=e^{2x}-2e^{x}p+p^{2}\ \Longrightarrow\ 1=e^{2x}-2e^{x}p$

   Квадратичные члены исчезают, остаётся линейное уравнение относительно $p$ — именно это сокращение и позволяет решить задачу в замкнутом виде.

4. 4

   Находим $p$ и узнаём в нём гиперболический синус.

   $2e^{x}p=e^{2x}-1\ \Longrightarrow\ p=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x$

5. 5

   Интегрируем один раз.

   $y=\int\sinh x\,dx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+C=\cosh x+C$

   Одна произвольная постоянная — ровно столько, сколько положено уравнению первого порядка.

6. 6

   Проверяем решение и условие возведения в квадрат. При $p=\sinh x$: $p+\sqrt{1+\sinh^{2}x}=\sinh x+\cosh x=e^{x}$ ✓ (использованы $\cosh^{2}-\sinh^{2}=1$ и $\cosh x>0$). Условие $e^{x}-p=\cosh x>0$ выполняется при всех $x$, значит возведение в квадрат не добавило посторонних решений. Численно при $x=2$: $\sinh 2+\cosh 2=3.6269+3.7622=7.3891=e^{2}$ ✓.