Найдите производную функции f(x) = 2e^{3x}.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим три составляющие. Данная функция — это константа $2$, умноженная на сложную функцию $e^{3x}$, где внешняя функция — $e^{u}$, а внутренняя — $u=3x$. Константа при дифференцировании выносится за знак производной, поэтому основная работа — с производной сложной функции.

2. 2

   Дифференцируем внешнюю экспоненту. Производная экспоненты равна ей самой:

   $\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}$

   — то есть никакая новая функция не появляется, и только правило цепочки может изменить ответ.

3. 3

   Находим производную внутренней функции и применяем правило цепочки.

   $\frac{d}{dx}(3x)=3\ \Longrightarrow\ \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}$

   Если забыть этот множитель $3$ — то есть просто переписать $e^{3x}$ как производную — это самая частая ошибка при работе с экспонентой.

4. 4

   Умножаем на константу.

   $\frac{d}{dx}\left(2e^{3x}\right)=2\cdot 3e^{3x}=6e^{3x}$

5. 5

   Обобщим и проверим. По аналогии получаем $\dfrac{d}{dx}\left(Ce^{kx}\right)=kCe^{kx}$ для любых констант $C, k$: форма экспоненты сохраняется, меняется только коэффициент. Проверим численно при $x=0.4$: центральная разность даёт $19.9207$, а $6e^{1.2}=19.9207$ — совпадает ✓.