Найдите все значения параметра a, при которых уравнение косинус квадратного корня из (a минус x в квадрате) равен 1 имеет ровно 8 корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем уравнение с косинусом к набору уровней. $\cos\theta=1$ только при $\theta=2\pi k$ для целого $k$, а здесь $\theta=\sqrt{a-x^2}\ge0$, значит, возможны только $k=0,1,2,\dots$:

   $\sqrt{a-x^2}=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x^2=a-4\pi^2k^2$

   Получено семейство простых квадратных уравнений — по одному на каждый $k$.

2. 2

   Посчитаем, сколько корней даёт каждый уровень. Для фиксированного $k$:

   • если $a-4\pi^2k^2>0$, то есть два корня: $x=\pm\sqrt{a-4\pi^2k^2}$;
   • если $a-4\pi^2k^2=0$, то ровно один корень: $x=0$;
   • если $a-4\pi^2k^2<0$, то корней нет.

   Разные $k$ дают разные значения $|x|$, так что пересечений среди корней не возникает.

3. 3

   Сразу исключим граничные случаи. Если $a=4\pi^2m^2$ для целого $m$, то всего получится $2m+1$ корень, а это нечётное число. Поскольку $8$ — чётное, такие $a$ не подходят, и все уровни должны быть строго меньше.

4. 4

   Требуем ровно четыре подходящих значения $k$. Без равенств число корней: $2\times(\text{число }k\text{ с }4\pi^2k^2<a)$. Приравниваем к $8$: значит, $k=0,1,2,3$ должны удовлетворять строгому неравенству, а $k=4$ — нет:

   $4\pi^2\cdot3^2<a\le 4\pi^2\cdot4^2$

5. 5

   Уберём замкнутую границу. Правая граница $a=64\pi^2$ — это как раз один из исключённых граничных случаев (даёт $2\cdot4+1=9$ корней), поэтому её нужно отбросить; $a=36\pi^2$ даёт $2\cdot3+1=7$. Ответ — открытый интервал

   $36\pi^2<a<64\pi^2$

6. 6

   Проверим концы интервала подсчётом. При $a=50\pi^2$ (внутри интервала) уровни $k=0,1,2,3$ проходят, а $k=4$ — нет, получаем $2\cdot4=8$ корней. При $a=36\pi^2$ корней $7$, а при $a=64\pi^2$ — $9$, так что строгие неравенства по краям необходимы.