Вычислите сумму бесконечного ряда 2ⁿ/n! при n от 0 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Убедимся в сходимости, прежде чем суммировать. По признаку Даламбера

   $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!}=\frac{2}{n+1}\longrightarrow 0<1$

   так что ряд сходится абсолютно — и не только при основании $2$, но при любом: факториал рано или поздно обгоняет геометрический рост.

2. 2

   Сопоставляем ряд с известным разложением. Показательная функция имеет ряд Маклорена

   $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad \text{верно при всех действительных }x$

   Данный ряд — это в точности он при $x=2$, так что суммировать ничего не нужно, достаточно узнать формулу.

3. 3

   Выписываем значение.

   $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}\approx 7.389056$

4. 4

   Следим за начальным индексом. Если суммирование начинается с $n=1$, то теряется слагаемое при $n=0$, равное $\tfrac{2^0}{0!}=1$:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}-1\approx 6.389056$

   Именно эта деталь определяет ответ, и её стоит проговаривать всякий раз, когда нижний предел записан нечётко.

5. 5

   Проверяем частичными суммами. Сложим первые слагаемые: $1+2+2+1.3333+0.6667+0.2667+0.0889+0.0254=7.3809$ — уже в пределах $0.008$ от $e^2=7.389056$. Остаток хвоста определяется главным образом слагаемым $\tfrac{2^8}{8!}=0.00635$, что согласуется с наблюдаемым расхождением $\checkmark$.