Продифференцируйте f(x) = x³ − 3x² + 2x и объясните, почему x³ превращается в 3x².

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем правило степени и разберём, что оно делает. Для любого постоянного показателя $n$

   $\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}$

   Происходит сразу две вещи: показатель спускается вперёд как множитель, а сам показатель уменьшается на единицу. Одна эта фраза и объясняет переход $x^{3}\to 3x^{2}$, на котором обычно спотыкаются.

2. 2

   Продифференцируем кубическое слагаемое. При $n=3$:

   $\frac{d}{dx}\left(x^{3}\right)=3x^{3-1}=3x^{2}$

   Тройка не взялась из ниоткуда — это прежний показатель, перешедший в коэффициент.

3. 3

   Продифференцируем квадратичное слагаемое, оставив коэффициент снаружи. Константы выносятся за знак производной, поэтому

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{2}\right)=-3\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=-3(2x)=-6x$

4. 4

   Продифференцируем линейное слагаемое. Здесь $n=1$, значит $x^{1}\to 1\cdot x^{0}=1$ и

   $\frac{d}{dx}\left(2x\right)=2\cdot 1=2$

   От линейного слагаемого всегда остаётся только его угловой коэффициент.

5. 5

   Сложим три части, пользуясь линейностью производной.

   $f'(x)=3x^{2}-6x+2$

6. 6

   Проверим численно в точке. Центральная разность при $x=2$ с шагом $h=10^{-6}$ даёт $\dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{2h}\approx 2.000000$, а формула — $3(4)-6(2)+2=2$. Та же проверка при $x=-1$ даёт $\approx 11.000000$ против $3+6+2=11$.