Вычислите двойной интеграл 1/(x + y + 2) по квадрату [0,1] × [0,1].

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проинтегрируем по $x$, считая $y$ константой. Подынтегральная функция — это обратная к линейной функции от $x$, поэтому $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+y+2}=\Big[\ln(x+y+2)\Big]_{0}^{1}=\ln(y+3)-\ln(y+2).$ Оба выражения под логарифмом положительны на всём квадрате, поэтому модуль не требуется. Порядок интегрирования не важен — функция симметрична по $x$ и $y$.

2. 2

   Запишем оставшийся определённый интеграл. $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{x+y+2}=\int_{0}^{1}\Big[\ln(y+3)-\ln(y+2)\Big]dy$ Каждое слагаемое — логарифм сдвинутой переменной, который интегрируется по частям (или по стандартной формуле): $\int\ln(y+a)\,dy=(y+a)\ln(y+a)-(y+a)+C.$

3. 3

   Вычислим оба интеграла с логарифмами. $\int_{0}^{1}\ln(y+3)\,dy=\Big[(y+3)\ln(y+3)-(y+3)\Big]_{0}^{1}=\left(4\ln 4-4\right)-\left(3\ln 3-3\right)=4\ln 4-3\ln 3-1,$ $\int_{0}^{1}\ln(y+2)\,dy=\Big[(y+2)\ln(y+2)-(y+2)\Big]_{0}^{1}=\left(3\ln 3-3\right)-\left(2\ln 2-2\right)=3\ln 3-2\ln 2-1.$ В численном виде это $1{,}2493405785$ и $0{,}9095425049$.

4. 4

   Вычтем и соберём логарифмы. $\left(4\ln 4-3\ln 3-1\right)-\left(3\ln 3-2\ln 2-1\right)=4\ln 4+2\ln 2-6\ln 3.$ Так как $4\ln 4=4(2\ln 2)=8\ln 2$, получаем $8\ln 2+2\ln 2-6\ln 3=10\ln 2-6\ln 3.$

5. 5

   Запишем в виде одного логарифма, аккуратно преобразуя. Объединяя, $10\ln 2-6\ln 3=\ln\frac{2^{10}}{3^{6}}=\ln\frac{1024}{729}=0.3397980736.$ Соблазнительно, но ошибочно записать как $2\ln 2+4\ln\tfrac43$, что разворачивается в $10\ln 2-4\ln 3=2.5370$ — примерно в 7 раз больше, так как теряются два множителя $3$ в знаменателе.

6. 6

   Проверим порядок величины через грубую оценку. На единичном квадрате $x+y+2$ меняется от $2$ до $4$, значит, подынтегральная функция лежит между $\tfrac14$ и $\tfrac12$, и среднее тоже. Значение $0{,}3398$ попадает в этот диапазон, а сетка $4000\times 4000$ по методу средних даёт $0.3397980732$, что подтверждает аналитический ответ.