Вычислить двойной интеграл от 9y + 4x по области, ограниченной параболами y = 4x² − 9 и y = 9 − 4x².

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём точки пересечения парабол. Из равенства $4x^2-9 = 9-4x^2$ получаем $8x^2 = 18$, то есть $x = \pm\tfrac{3}{2}$. Значит, область занимает полосу $-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{3}{2}$.

2. 2

   Запишем повторный интеграл. При каждом $x$ вертикальный отрезок идёт от нижней параболы к верхней:

   $\int_{-3/2}^{3/2}\int_{4x^2-9}^{9-4x^2}(9y+4x)\,dy\,dx$

3. 3

   Воспользуемся симметрией, а не будем считать «в лоб». Область $D$ симметрична относительно обеих осей: замена $x \to -x$ переводит её в себя, и замена $y \to -y$ тоже (граничные кривые просто меняются местами).

4. 4

   Применим симметрию к каждому слагаемому. Функция $9y$ нечётна по $y$, а область симметрична по $y$, поэтому её интеграл равен $0$. Функция $4x$ нечётна по $x$, а область симметрична по $x$, поэтому и её интеграл равен $0$.

5. 5

   Вывод. Оба слагаемых обращаются в нуль, значит весь интеграл равен $0$ — первообразная так и не понадобилась. Проверять симметрию до начала вычислений стоит всегда, когда область задана чётными функциями.