При фиксированном δ > 0 вычислите предел при ρ → +∞ выражения (2 arctg(ρ/δ)/π)^ρ и выясните, определён ли ln от этой величины минус 1 при действительных ρ > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Оценим основание при конечных $\rho$. При любом конечном $\rho>0$ и фиксированном $\delta>0$ аргумент $\rho/\delta$ конечен, поэтому $\arctan\frac{\rho}{\delta}<\frac{\pi}{2}$ строго — значение $\frac{\pi}{2}$ является лишь горизонтальной асимптотой и никогда не достигается. Следовательно,

   $0<\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}<1$

   В этом вся суть: основание подходит к $1$ снизу, и возведение в большую степень тянет его вниз, а не оставляет равным $1$.

2. 2

   Запишем основание как $1$ минус малая величина. Воспользуемся тождеством $\arctan u+\arctan\frac{1}{u}=\frac{\pi}{2}$ при $u>0$:

   $\arctan\frac{\rho}{\delta}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{\delta}{\rho}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{\delta}{\rho}$

   При $\rho\to+\infty$ имеем $\frac{\delta}{\rho}\to 0$ и $\arctan u\sim u$, так что основание ведёт себя как $1-\frac{2\delta}{\pi\rho}$.

3. 3

   Применим классический показательный предел. Поскольку $\lim_{\rho\to\infty}\left(1-\frac{c}{\rho}\right)^{\rho}=e^{-c}$, при $c=\frac{2\delta}{\pi}$ получаем

   $\lim_{\rho\to+\infty}\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}=e^{-2\delta/\pi}$

   Знакомое предупреждение «$\left(1-\frac1n\right)^{n}\to e^{-1}$, а не $1$» описывает ровно то же явление: основание, стремящееся к $1$, борется с показателем, стремящимся к бесконечности, и исход решает произведение $\rho\cdot\frac{2\delta}{\pi\rho}$.

4. 4

   Убедимся, что аргумент логарифма отрицателен. Так как $\delta>0$, то $0<e^{-2\delta/\pi}<1$, а значит,

   $\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}-1\ \longrightarrow\ e^{-2\delta/\pi}-1<0$

   Более того, при каждом конечном $\rho>0$ основание уже строго меньше $1$, поэтому скобка строго отрицательна — не только в пределе. Логарифм отрицательного числа в действительной области не определён, так что этот $\ln$ никогда не имеет смысла в действительной области.

5. 5

   Проверим оба вывода численно. При $\delta=1$: $e^{-2/\pi}=0.5290778$, а само выражение даёт $0.5191644$ при $\rho=10$, $0.5280135$ при $\rho=100$, $0.5289707$ при $\rho=10^{3}$ и $0.5290778$ при $\rho=10^{7}$ — сходимость к предсказанному значению, а вовсе не к $1$. При $\delta=3$ так же достигается ориентир $e^{-6/\pi}=0.1481012$. А скобка принимает значения $-0.2410$, $-0.5000$, $-0.4808$ и $-0.4710$ при $\rho=0.1,1,10,1000$: всюду отрицательна.