Вычислите предел sin(x) при x, стремящемся к бесконечности, или докажите, что он не существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним, что означает существование предела. Для утверждения $\lim_{x\to\infty}\sin x=L$ требуется, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлось такое $M$, что для всех $x>M$ выполнялось $|\sin x-L|<\varepsilon$. Достаточно одной последовательности больших $x$, где это не выполняется, чтобы опровергнуть существование предела.

2. 2

   Заметим, что ограниченность не гарантирует существование предела. Для любой $x$ выполняется $-1\le\sin x\le1$, то есть функция ограничена и не стремится к бесконечности. Однако ограниченность не означает сходимости — функция может бесконечно колебаться, как это и происходит здесь.

3. 3

   Покажем две подпоследовательности с разными пределами. Возьмём

   $x_{n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin x_{n}=1,\qquad y_{n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ \sin y_{n}=-1.$

   Обе последовательности $x_{n}\to\infty$ и $y_{n}\to\infty$ при $n\to\infty$, но значения функции навсегда остаются равными $1$ и $-1$ соответственно.

4. 4

   Делаем вывод об отсутствии предела. Если бы предел существовал и был равен $L$, то любая последовательность, стремящаяся к бесконечности, давала бы значения функции, стремящиеся к $L$. Здесь одна подпоследовательность даёт $1$, другая — $-1$, а $1\ne-1$, значит, такого $L$ не существует:

   $\lim_{x\to\infty}\sin x\ \text{does not exist.}$

5. 5

   Отличим этот случай от пределов, равных бесконечности. Предел может не существовать по двум причинам: функция может неограниченно возрастать (например, $\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$) или бесконечно колебаться (как здесь). Для $\sin x$ верно второе. Заметим также: если «загасить» колебания, предел появляется — $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ по теореме о сжатой функции, так как $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1x$. Значит, именно неограниченные колебания аргумента, а не сама функция синуса, приводят к отсутствию предела.