Решите дифференциальное уравнение dy/dx = ((2y + 3)/(4x + 5))² и запишите общее решение в неявном виде.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что уравнение разделяющееся, прежде чем выбирать способ решения. Возведение дроби в квадрат оставляет $y$-часть и $x$-часть в отдельных множителях:

   $\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}},$

   что как раз соответствует виду $y'=g(y)h(x)$. Интегрирующий множитель не требуется — уравнение не является линейным по $y$, поэтому методы для линейных ОДУ здесь не подойдут.

2. 2

   Разделим переменные. Разделим обе части на $(2y+3)^{2}$ и умножим на $dx$:

   $\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.$

   При делении на $(2y+3)^{2}$ теряется частное решение $y=-\tfrac32$, которое действительно обращает правую часть в ноль ($y'=0$). Это особое решение вне общего семейства, поэтому его нужно отметить отдельно.

3. 3

   Проинтегрируем левую часть с подстановкой $u=2y+3$. Тогда $du=2\,dy$, значит $dy=\tfrac{du}{2}$ и

   $\int\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(2y+3)}.$

   Множитель $\tfrac12$ появляется из-за производной внутренней функции; забыть его — самая частая ошибка при интегрировании методом подстановки.

4. 4

   Проинтегрируем правую часть аналогично, положив $v=4x+5$. Здесь $dv=4\,dx$, значит

   $\int\frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\frac14\int v^{-2}\,dv=-\frac{1}{4v}=-\frac{1}{4(4x+5)}.$

   Множитель $\tfrac14$ появляется, потому что производная внутренней функции равна $4$, что соответствует формуле $\int f(ax+b)\,dx=\tfrac1a F(ax+b)$.

5. 5

   Объединим и учтём произвольную константу. Приравниваем найденные первообразные и добавляем произвольную константу:

   $-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.$

   Умножим обе части на $-2$ и переобозначим константу, чтобы получить более компактный неявный вид:

   $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C,$

   так как $\dfrac{2}{4(4x+5)}=\dfrac{1}{2(4x+5)}=\dfrac{1}{8x+10}$.

6. 6

   Проверим решение с помощью неявного дифференцирования. Продифференцируем $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C$ по $x$:

   $-\frac{2y'}{(2y+3)^{2}}=-\frac{8}{(8x+10)^{2}}=-\frac{8}{4(4x+5)^{2}},$

   откуда $y'=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}}$ — совпадает с исходным уравнением. Проверка на числовом примере при $C=0{,}3$ и $x=1$ даёт $y'=0{,}09765625$ как из неявного решения, так и из правой части уравнения.