Для функции f(x), равной сумме ряда xⁿ⁻¹/n по n от 1 до бесконечности, выясните, дифференцируема ли f в точках x = 1 и x = −1.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём радиус сходимости и замкнутую форму. Коэффициенты равны $1/n$, поэтому радиус равен $1$. При $0<|x|<1$ вынесем $1/x$ и воспользуемся рядом для логарифма:

   $f(x)=\frac1x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},$

   с устранимым значением $f(0)=1$. Именно наличие замкнутой формы и позволяет ответить на вопросы о концах интервала, поскольку продифференцированный ряд ведёт себя там скверно.

2. 2

   Разберёмся с $x=1$, начав с проверки сходимости. При $x=1$ ряд превращается в $\sum_{n\ge1}\frac1n$ — гармонический, а он расходится. Значит, $f(1)$ как число не существует, и вопрос о дифференцируемости при $x=1$ даже не возникает. Замкнутая форма это подтверждает: $-\ln(1-x)/x\to+\infty$ при $x\to1^{-}$.

3. 3

   Найдём значение в точке $x=-1$. Здесь ряд равен $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ — знакочередующийся гармонический, он сходится по признаку Лейбница с суммой

   $f(-1)=\ln 2\approx 0.6931472.$

   Теорема Абеля гарантирует, что это совпадает с $\lim_{x\to-1^{+}}\bigl(-\ln(1-x)/x\bigr)=-\ln 2/(-1)=\ln 2$, то есть замкнутая форма непрерывно продолжается в точку $x=-1$.

4. 4

   Продифференцируем замкнутую форму и подставим $-1$. Из $f(x)=-\ln(1-x)\cdot x^{-1}$ следует

   $f'(x)=\frac{1}{x(1-x)}+\frac{\ln(1-x)}{x^{2}},$

   поэтому

   $f'(-1)=\frac{1}{(-1)(2)}+\frac{\ln 2}{1}=\ln 2-\frac12.$

   Поскольку $1-x=2>0$ и $x=-1\ne0$, замкнутая форма вещественно аналитична в целой окрестности точки $-1$ — вот почему эта односторонняя производная действительно существует.

5. 5

   Отметим ловушку и проверим численно. Почленное дифференцирование ряда даёт $\sum_{n\ge1}\frac{(n-1)x^{n-2}}{n}$, модули слагаемых которого при $x=-1$ равны $(n-1)/n\to1$ и, стало быть, не стремятся к $0$ — продифференцированный ряд при $x=-1$ расходится. Противоречия с результатом нет: это лишь показывает, что почленное дифференцирование на конце интервала незаконно, тогда как сама функция там всё же дифференцируема. Численно $\bigl(f(-1+10^{-10})-f(-1)\bigr)/10^{-10}=0.1931472$ и $\ln 2-\tfrac12=0.1931472$.