Найдите все функции f, для которых f(x)/f′(x) = tg((k−1)x), где k — постоянная, не равная 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Перевернём отношение, чтобы появилась логарифмическая производная. Взяв обратные величины от обеих частей, получим $\frac{f'(x)}{f(x)}=\cot\!\left((k-1)x\right).$ Левая часть — это в точности $\dfrac{d}{dx}\ln|f(x)|$, и потому такое преобразование стоит сделать раньше всего: уравнение относительно $f$ и $f'$ превращается в обычную задачу на первообразную.

2. 2

   Проинтегрируем обе части. $\ln|f(x)|=\int\cot\!\left((k-1)x\right)dx.$ Обозначим $m=k-1$ (по условию оно отлично от нуля) и сделаем замену $u=mx$, $du=m\,dx$: $\int\cot(mx)\,dx=\frac{1}{m}\int\cot u\,du=\frac{1}{m}\ln|\sin u|+C=\frac{1}{m}\ln\left|\sin(mx)\right|+C.$ Табличный результат $\int\cot u\,du=\ln|\sin u|$ получается заменой на сам синус.

3. 3

   Потенцируем и восстановим $f$. Из $\ln|f(x)|=\frac{1}{m}\ln|\sin(mx)|+C$ следует $|f(x)|=e^{C}\left|\sin(mx)\right|^{1/m},$ а объединив $\pm e^{C}$ в одну произвольную ненулевую постоянную, получаем $f(x)=C\left|\sin\!\left((k-1)x\right)\right|^{\frac{1}{k-1}}.$

4. 4

   Проверим дифференцированием. При $m=k-1$ и $f=\left(\sin mx\right)^{1/m}$ на промежутке, где $\sin mx>0$, правило дифференцирования сложной функции даёт $f'=\frac{1}{m}\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cdot m\cos mx=\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cos mx,$ откуда $\frac{f}{f'}=\frac{\left(\sin mx\right)^{1/m}}{\left(\sin mx\right)^{\frac1m-1}\cos mx}=\frac{\sin mx}{\cos mx}=\tan mx.$ Именно показатель $1/m$ обеспечивает сокращение степеней $\sin$ до первой степени.

5. 5

   Проверим и численно. Возьмём $k=3$, тогда $m=2$ и $f(x)=\sqrt{\sin 2x}$. При $x=0.5$ центральная разностная производная даёт $f'(0.5)=0.589003$, а $f(0.5)=0.917317$, поэтому $f/f'=1.557408$, тогда как $\tan(2\times 0.5)=\tan 1=1.557408$. Совпадение до шестого знака.

6. 6

   Отметим область определения и исключённый случай. Решение имеет смысл лишь там, где $\sin\!\left((k-1)x\right)\neq 0$, то есть $x$ должен обходить кратные $\pi/(k-1)$; на каждом таком промежутке постоянную $C$ можно выбирать независимо. При $k=1$ правая часть равна $\tan 0=0$, что вынуждает $f\equiv 0$, — потому и предполагается $k\neq 1$.