Найдите значения a и b, при которых кусочная функция f(x) = x + 7a для x ≤ -2, f(x) = 7a·x + b для -2 < x < 1, и f(x) = x - 7b для x ≥ 1, будет непрерывной.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, где возможна потеря непрерывности. Все три ветви функции — многочлены, а значит, непрерывны на своих областях определения. Проблемы могут возникнуть только в точках перехода формул — при $x=-2$ и $x=1$. Для непрерывности в этих точках необходимо, чтобы левый и правый пределы, а также значение функции совпадали, то есть, чтобы соседние формулы давали одинаковый результат в точке стыка. Две точки разрыва дают две системы уравнений для двух неизвестных.

2. 2

   Запишем условие совпадения значений при $x=-2$. Ветвь $x+7a$ определена при $x=-2$, значит $f(-2)=-2+7a$. Правая односторонняя граница из средней ветви:

   $\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=7a(-2)+b=-14a+b$

   Приравниваем:

   $-2+7a=-14a+b\ \Longrightarrow\ 21a-b=2\ \Longrightarrow\ b=21a-2$

3. 3

   Запишем условие совпадения значений при $x=1$. Слева предел даёт средняя ветвь, справа — третья:

   $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=7a+b,\qquad f(1)=1-7b$

   Приравниваем:

   $7a+b=1-7b\ \Longrightarrow\ 7a+8b=1$

4. 4

   Решим систему двух уравнений методом подстановки. Подставим $b=21a-2$ во второе уравнение:

   $7a+8(21a-2)=1\ \Longrightarrow\ 7a+168a-16=1\ \Longrightarrow\ 175a=17\ \Longrightarrow\ a=\frac{17}{175}$

5. 5

   Подставим найденное $a$ для вычисления $b$ и упростим. Используем $b=21a-2$ и $21\cdot 17=357$:

   $b=\frac{357}{175}-2=\frac{357}{175}-\frac{350}{175}=\frac{7}{175}=\frac{1}{25}$

6. 6

   Проверим оба стыка в точности. При $a=\tfrac{17}{175}$ и $b=\tfrac{1}{25}$: для $x=-2$ левая ветвь даёт $-2+7a=-\tfrac{33}{25}$, средняя — $-14a+b=-\tfrac{33}{25}$; для $x=1$ средняя даёт $7a+b=\tfrac{18}{25}$, правая — $1-7b=\tfrac{18}{25}$. Значения совпадают, значит $f$ непрерывна всюду.