Найти предел при x стремящемся к минус бесконечности суммы xⁿ/(n·n!) по n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Назовём сумму $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,n!}$. Благодаря факториалу $n!$ в знаменателе радиус сходимости бесконечен, поэтому $S$ определена при любом действительном $x$ и допускает почленное дифференцирование.

2. 2

   Дифференцируем $S(x)$, чтобы избавиться от неудобного множителя $n$:

   $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n\,n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^{x}-1}{x}$

   Множитель $n$ сокращается, а оставшийся ряд — это экспоненциальный минус его $n=0$ член. Именно этот шаг делает задачу решаемой.

3. 3

   Проинтегрируем обратно, учитывая $S(0)=0$. Каждый член ряда $S$ обращается в ноль при $x=0$, поэтому

   $S(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt$

   Подынтегральная функция ведёт себя хорошо при $t=0$, где стремится к $1$, так что особых точек здесь нет.

4. 4

   Исследуем поведение подынтегральной функции при больших отрицательных $t$. При $t\to-\infty$ имеем $e^{t}\to 0$, значит

   $\frac{e^{t}-1}{t}\approx\frac{-1}{t}$

   Это выражение положительно при $t<0$ и убывает только как $1/|t|$, то есть слишком медленно, чтобы интеграл сходился.

5. 5

   Делаем вывод, что интеграл расходится. Запишем $S(x)=-\int_{x}^{0}\frac{e^{t}-1}{t}dt$ и сравним с $\int_{x}^{0}\frac{-1}{t}dt=\ln|x|\to+\infty$. Интеграл неограниченно возрастает, поэтому

   $\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\infty$

6. 6

   Численно подтверждаем логарифмическую скорость расходимости. Прямой подсчёт ряда: $S(-10)=-2.8798$, $S(-20)=-3.5729$, $S(-30)=-3.9784$. Асимптотика $-\left(\ln|x|+\gamma\right)$ с $\gamma=0.5772$ даёт $-3.9784$ при $x=-30$ — ✓, расходимость действительно логарифмическая.