Вычислить тройной интеграл от −5x + 5yz по области E, где 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 5 − 5x и 0 ≤ z ≤ −x − 2y − 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем вырожденность пределов и решаем, что это значит. При $x$ из $(1,2]$ указанный верхний предел по $y$, равный $5-5x$, отрицателен, то есть лежит ниже нижнего предела $0$; то же самое происходит и с $z$, чей верхний предел $-x-2y-5$ отрицателен. Область в записанном виде как тело пуста, поэтому задачу следует понимать как повторный интеграл с этими пределами, где перевёрнутый промежуток даёт вклад с противоположным знаком.

2. 2

   Интегрируем по z. При $Z=-x-2y-5$ имеем $\int_0^{Z}(-5x+5yz)\,dz=-5xZ+\frac{5y}{2}Z^2$. Подстановка и раскрытие скобок дают $10y^3+10xy^2+50y^2+\frac52x^2y+35xy+\frac{125}{2}y+5x^2+25x$.

3. 3

   Интегрируем по y от 0 до 5 − 5x. Находим первообразную и подставляем (отрицательный) верхний предел; получается подынтегральное выражение внешнего интеграла $\frac{14125}{12}x^4-\frac{20200}{3}x^3+\frac{28425}{2}x^2-\frac{39250}{3}x+\frac{53125}{12}$.

4. 4

   Находим первообразную по x. Первообразная $\int$ этого многочлена четвёртой степени равна $\frac{2825}{12}x^5-\frac{5050}{3}x^4+\frac{9475}{2}x^3-\frac{19625}{3}x^2+\frac{53125}{12}x$.

5. 5

   Вычисляем от x = 1 до x = 2. Разность значений первообразной на концах равна $\frac{25}{2}=12.5$. Результат положителен, хотя подынтегральная функция $-5x+5yz$ на большей части промежутка отрицательна: две перевёрнутые ориентации меняют знак дважды.

6. 6

   Численная проверка. Численное вычисление того же повторного интеграла (с сохранением перевёрнутых внутренних промежутков) даёт $12.500000$, что совпадает с $\frac{25}{2}$.

7. 7

   Сравниваем с распространённым неверным ответом. В решениях часто встречается значение $-\frac{40625}{72}\approx -564.2$; оно не выдерживает численной проверки, так что со знаками при перевёрнутых пределах нужно обращаться аккуратно.